So, inzwischen habe ich die Festplatten formatiert, Windows neu drauf geladen und alles über den HDMI-Anschluss direkt an der Grafikkarte (den ich auch neu entdeckt habe

) angeschlossen. Ohne grüne Streifen, aber das Bild war da. Nach kleineren Problemen mit Grafikkartentreibern (Windows hat meine Grafikkarte als "Standard VGA-Grafikkarte" erkannt), hat alles funktioniert.
Bild da, kein Trojaner mehr, alles tiptop.
Der andere HDMI Anschluss und der länglichere als VGA (ka wie er heisst), funktionieren beide nach wie vor nicht, aber so lange ich über die Grafikkarte ein Bild habe, stört mich das nicht.
Ausserdem habe ich kein Signal über mein Ethernet-Kabel, aber auch das stört mich nicht, weil ich eine WiFi-Verbindung über einen USB-Anschluss nutze.
Also kurz zusammengefasst: Es funktioniert!
Vielen Dank für die Hilfe